如圖，在斜三棱柱
中，O是AC的中點，
平面
，
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
（1）證明過程詳見解析；（2）
.
解析試題分析：本題主要考查線面垂直的證明、二面角、向量法等基礎知識，同時考查空間想象能力、邏輯推理論證能力和計算能力.第一問，利用線面垂直的性質得
，由已知
，利用線面垂直的判定得
平面
，所以BC垂直面內的線
，又由于四邊形是菱形，所以
，所以利用線面垂直的判定得平面；第二問，通過已知條件中的垂直關系建立空間直角坐標系，寫出各個點坐標，利用向量法求出面
與面
的法向量，再利用夾角公式，求出二面角的余弦值.
試題解析： （1）因為平面，所以．
又，所以平面，所以
． 2分
因為
，所以四邊形是菱形，所以．
所以平面，
所以
． 5分
（2）以
為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系
，
則A(0，－1，0)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，2，)．
，
，
設
是面的一個法向量，則
，
即
取
．
同理面的一個法向量為
． 10分
因為
．
所以二面角的余弦值． 12分
考點：1.線面垂直的判定與性質；2.向量法.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（2013•湖北）如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F分別是PA，PC的中點．
（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明；
（2）設（1）中的直線l與圓O的另一個交點為D，且點Q滿足
．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E﹣l﹣C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，
是以
為直徑的半圓
上異于
、
的點，矩形
所在的平面垂直于半圓所在的平面，且
.
（1）求證：
；
（2）若異面直線
和
所成的角為
，求平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如右圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，G為△BC1D的重心，
(1)試證：A1、G、C三點共線；
(2)試證：A1C⊥平面BC1D；
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙)，設點E、F分別為棱AC、AD的中點．
(1)求證：DC⊥平面ABC；
(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值；
(3)求二面角B－EF－A的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G，H分別是CE，CF的中點．
(1)求證：平面AEF∥平面BDGH
(2)若平面BDGH與平面ABCD所成的角為60°，求直線CF與平面BDGH所成的角的正弦值．
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中,側面
底面
,
,底面
,
,
,
．
平面
;
為側棱
上一點，
，試確定
的值,使得二面角
為
．
是菱形，
是矩形，
平面
，
．
平面
；
為直二面角，求直線
與平面
所成的角
的正弦值．
（側棱和底面垂直的棱柱）中，
，
,
，且滿足
.
側面
；
的平面角的余弦值。