如圖，
是以
為直徑的半圓
上異于
、
的點，矩形
所在的平面垂直于半圓所在的平面，且
.
（1）求證：
；
（2）若異面直線
和
所成的角為
，求平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值.
（1）證明過程詳見解析；（2）
.
解析試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力.第一問，先利用面面垂直的性質得到線面垂直
垂直于圓所在的平面，再利用線面垂直的性質得到
，而在圓內AB為直徑，所以，利用線面垂直的判定得
平面
，最后利用線面垂直的性質得到結論；第二問，利用向量法，先根據已知條件中的垂直關系建立空間直角坐標系，得到有關點及向量的坐標，利用向量法中的公式，求出平面DCE和平面AEB的法向量，再利用夾角公式求夾角的余弦值.
試題解析：（1）∵平面垂直于圓所在的平面，兩平面的交線為，
平面，
，∴垂直于圓所在的平面.又
在圓所在的平面內，∴
.∵
是直角，∴，∴平面,∴. 6分
(2)如圖，
以點為坐標原點，所在的直線為
軸，過點與平行的直線為
軸，建立空間直角坐標系
.由異面直線和所成的角為，
知
，
∴
，∴
，由題設可知
，
，∴
，
.設平面的一個法向量為
，
由
，
得
，
，取
，得
.
∴
.又平面
的一個法向量為
，∴
.
平面與平面所成的銳二面角的余弦值. 13分
（其他解法可參考給分）
考點：線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角、向量法.
課堂全解字詞句段篇章系列答案
步步高口算題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD=AE，F是BC的中點，AF與DE交于點G，將
沿AF折起，得到如圖所示的三棱錐
，其中
.
（1） 證明:
//平面
;
（2） 證明:平面
;
（3）當
時，求三棱錐的體積
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在直角梯形
中，
，
，
，如圖，把
沿
翻折，使得平面
平面
．
（1）求證：
；
（2）若點
為線段
中點，求點到平面
的距離；
（3）在線段上是否存在點
，使得
與平面所成角為
？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
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中，平面
平面
.
平面
;
的大小
中，直線
平面
，且
，又點
，
，
分別是線段
，
，
的中點，且點
是線段
上的動點．
平面
；
，求二面角
的平面角的余弦值．
中，直線
平面
，且
，又點
，
，
分別是線段
，
，
的中點，且點
是線段
上的動點.
平面
；
，求二面角
的平面角的余弦值.
中，底面
和側面
都
是
的中點，
，
.
平面
；
所成的銳二面角的大小為
，求線段
的長度.
中，
，
，
，點
在平面
內的射影恰為
的重心
，M為側棱
上一動點．
平面
；
與平面
所成角的正弦值．
中，O是AC的中點，
平面
，
，
.
平面
；
的余弦值.