Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝x＋，且此函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，5）．

（1）求實(shí)數(shù)m的值并判斷f（x）的奇偶性；

（2）判斷函數(shù)f（x）在[2，＋∞）上的單調(diào)性，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）m＝4，奇函數(shù)；（2）f（x）在[2，＋∞）上單調(diào)遞增，證明見解析．

【解析】

試題（1）函數(shù)圖象過點(diǎn)（1，5）將此點(diǎn)代入函數(shù)關(guān)系式求出m的值即可，因?yàn)楹瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，需要判斷函數(shù)是否滿足關(guān)系式或者．滿足前者為偶函數(shù)，滿足后者為奇函數(shù)，否則不具有奇偶性．此題也可以將看做與兩個函數(shù)的和，由的奇偶性判斷出的奇偶性．（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義式：區(qū)間上的時，的正負(fù)來確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．

試題解析：（1）（1）∵f（x）過點(diǎn)（1，5），

∴1＋m＝5m＝4．

對于f（x）＝x＋，∵x≠0，

∴f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?/span>∞，0）∪（0，＋∞），關(guān)于原點(diǎn)對稱．

∴f（－x）＝－x＋＝－f（x）．

∴f（x）為奇函數(shù)．

另解：，，定義域均與定義域相同，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，因此可以得出也為奇函數(shù)．

（2）證明：設(shè)x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，

則f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－＝（x1－x2）＋＝．

∵x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，

∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2>0．

∴f（x1）－f（x2）<0．

∴f（x）在[2，＋∞）上單調(diào)遞增．