Question

【題目】中國高鐵的快速發展給群眾出行帶來巨大便利，極大促進了區域經濟社會發展.已知某條高鐵線路通車后，發車時間間隔（單位：分鐘）滿足，經測算，高鐵的載客量與發車時間間隔相關：當時高鐵為滿載狀態，載客量為人；當時，載客量會在滿載基礎上減少，減少的人數與成正比，且發車時間間隔為分鐘時的載客量為人.記發車間隔為分鐘時，高鐵載客量為.

求的表達式；

若該線路發車時間間隔為分鐘時的凈收益（元），當發車時間間隔為多少時，單位時間的凈收益最大？

Answer 1

【答案】（1）（2）發車時間間隔為分鐘時，最大

【解析】

（1）分和兩段求函數的解析式，當時，，當時，，求；（2）根據（1）的結果，分段求函數，利用導數求函數的最大值.

解：（1）當時，不妨設，因為，所以解得.

因此.

（2）①當時，

因此，.

因為，當時，，單增；

當時，，單減.所以.

②當時，

因此，.

因為，此時單減.所以，

綜上，發車時間間隔為分鐘時，最大.