Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF=DE，點M為棱AE的中點．

（1）求證：平面BMD∥平面EFC；

（2）若AB=1，BF=2，求三棱錐A-CEF的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）．

【解析】

（1）設AC與BD交于點N，則N為AC的中點，可得MN∥EC．由線面平行的判定，可得MN∥平面EFC．再由BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF=DE，可得BDEF為平行四邊形，得到BD∥EF．由面面平行的判定，可得平面BDM∥平面EFC；

（2）連接EN，FN．在正方形ABCD中，AC⊥BD，再由BF⊥平面ABCD，可得BF⊥AC．從而得到AC⊥平面BDEF，然后代入棱錐體積公式求解．

（1）證明：設AC與BD交于點N，則N為AC的中點，而M為AE中點

∴MN∥EC．

∵MN平面EFC，EC平面EFC，

∴MN∥平面EFC．

∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF=DE，

∴BF∥DE，BF=DE，

∴BDEF為平行四邊形，∴BD∥EF．

∵BD平面EFC，EF平面EFC，

∴BD∥平面EFC．

又∵MN∩BD=N，

∴平面BDM∥平面EFC；

（2）解：連接EN，FN．在正方形ABCD中，AC⊥BD，

又∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC．

∵BF∩BD=B，

∴AC⊥平面BDEF，且垂足為N，

∴，

∴三棱錐A-CEF的體積為．