Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（3）若函數(shù)f（x）的最小值為﹣4，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：要使函數(shù)有意義：則有 ，解之得：﹣3＜x＜1，

則函數(shù)的定義域?yàn)椋海ī?，1）

（2）解：函數(shù)可化為f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）

由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，

即x2+2x﹣2=0，

∵ ，∴函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是

（3）解：函數(shù)可化為：

f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）=loga[﹣（x+1）2+4]

∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，

∵0＜a＜1，∴l(xiāng)oga[﹣（x+1）2+4]≥loga4，

即f（x）min=loga4，由loga4=﹣4，得a﹣4=4，

∴

【解析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，列出不等式組并求出解集，函數(shù)的定義域用集合或區(qū)間表示出來(lái)；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由f（x）=0，即﹣x2﹣2x+3=1，求此方程的根并驗(yàn)證是否在函數(shù)的定義域內(nèi)；（3）把函數(shù)解析式化簡(jiǎn)后，利用配方求真數(shù)在定義域內(nèi)的范圍，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)遞減，求出函數(shù)的最小值loga4，得loga4=﹣4利用對(duì)數(shù)的定義求出a的值．