Question

【題目】設函數f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．

（Ⅰ）若對x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求實數t的最大值M；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，正實數a，b滿足a2＋b2＝2M．證明：a＋b≥2ab．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）M＝1 （Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ） 恒成立，采用變量分離，轉化為，利用絕對值三角不等式得解（Ⅱ）利用重要不等式a2＋b2≥2ab得出ab≤1，再用得解

試題解析：（Ⅰ）解： 恒成立

∵，

當且僅當，即時取等號，

∴t≤1，∴M＝1．

（Ⅱ）證明：∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤1．

∴．（當且僅當“a＝b”時取等號）①

又∵，∴．

∴，（當且僅當“a＝b”時取等號）②

由①、②得．（當且僅當“a＝b”時取等號）

∴a＋b≥2ab．