Question

在直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數方程為(t為參數），P為C₁上的動點，Q為線段OP的中點．
（1）求點Q的軌跡C₂的方程；
（2）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸（兩坐標系取相同的長度單位）的極坐標系中,N為曲線p=2sinθ上的動點,M為C₂與x軸的交點，求｜MN｜的最大值．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數方程與普通方程的互化等數學知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力以及計算能力.第一問，設出Q點坐標，利用中點坐標公式得到P點坐標，而P在上，代入到的參數方程中即可得到的參數方程；第二問，利用第一問的方程可先求出M點坐標，將曲線化為直角坐標方程，利用兩點間距離公式再利用數形結合即可求出|MN|的最大值.
試題解析：①設Q(x，y)，則點P(2x，2y)，又P為C₁上的動點，
所以(t為參數)，即(t為參數)．
所以C₂的方程為(t為參數)(或4x＋3y－4＝0).（4分）
②由①可得點M(1，0)，且曲線ρ＝2sinθ的直角坐標方程為x²＋(y－1)²＝1，
所以|MN|的最大值為.（7分）