Question

已知二項式(

3	x

-

1

2 3 x

) n的展開式中，前三項系數的絕對值成等差數列．
（I）求展開式的第四項；
（II）求展開式的常數項．

Answer 1

分析：首先展開式中，前三項系數的絕對值成等差數列，寫出三個項之間的關系，求出n的值，
（1）在一個二項式中，寫出二項式的第四項，注意二項式所包含的兩部分結構比較復雜，運算時要細心．
（2）根據前面寫出的二項式的形式，寫出二項式的通項，根據要求的是常數項，只要使得變量x的指數等于0，做出r的值即可求得常數項．

解答：解：因為第一、二、三項系數的絕對值分別為C_n⁰，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

∴

C

n 0

+

1

4

C

n 2

= 2×

1

2

C

n 1

∴n²-9n+8=0
解得n=8…．（4分）
（I）第四項T4=

C

3 8

(

3	x

)5 (-

1

2 3 x

)3=-7x

2

3

…．（7分）
（II）通項公式為Tr+1=

C

r 8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，
令

8-2r

3

=0，得r=4…．（10分）
所以展開式中的常數項為T5=

C

4 8

(-

1

2

)4=

35

8

…．（12分）

點評：本題看出二項式定理的應用，本題解題的關鍵是根據所給的條件，算出二項式的指數，為后面的解題做準備．