Question

已知(

x

+

3	x

)n（其中7＜n＜15）的展開式中第5項，第6項，第7項的二項式系數成等差數列．
（1）求n的值；
（2）寫出它的展開式中的有理項．

Answer 1

分析：（1）先求出展開式中第5項，第6項，第7項的二項式系數，根據其成等差數列列出關于n的方程，解方程即可求出n的值．
（2）先求出展開式Tr+1=

C

r 14

x

14-r

2

x

r

3

=

C

r 14

x

42-r

6

，再根據展開式中的有理項當且僅當r是6的倍數時成立即可求出結論．

解答：解：（1）(

x

+

3	x

)n（其中7＜n＜15）的展開式中第5項，第6項，第7項的二項式
系數分別是C_n⁴，C_n⁵，C_n⁶．
依題意得C_n⁴+C_n⁶=2C_n⁵，
即：

n!

4!(n-4)!

+

n!

6!(n-6)!

=2×

n!

5!(n-5)!

，…（3分）
化簡得30+（n-4）（n-5）=12（n-4），即：n²-21n+98=0，
解得n=7或n=14，因為7＜n＜15所以n=14…（6分）
（2）展開式的通項  Tr+1=

C

r 14

x

14-r

2

x

r

3

=

C

r 14

x

42-r

6

…（10分）
展開式中的有理項當且僅當r是6的倍數，0≤r≤14，
所以展開式中的有理項共3項：r=0，T₁=C₁₄⁰x⁷=x⁷；
r=6，T₇=C₁₄⁶x⁶=3003x⁶；
r=12，T₁₃=C₁₄¹²x⁵=91x⁵…（12分）

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決展開式的特定項問題、等差數列的定義．