Question

已知二項式(

3	x

+

1

x

)n的展開式中各項系數的和為256．
（1）求n．
（2）求展開式中的常數項．

Answer 1

分析：（1）：觀察（

3	x

+

1

x

）ⁿ可知，展開式中各項系數的和為256，即C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=256，從而得n
（2）：利用二項展開式中的第r+1項，即通項公式Tr+1=c_n^r（

3	x

）^n-r（

1

x

）^r，將第一問的n代入，并整理，令x的次數為0，解出r，從而得解．

解答：解：（1）由題意得C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=256，
即2ⁿ=256，解得n=8
（2）該二項展開式中的第r+1項為Tr+1=

C

r 8

(

3	x

)8-r•(

1

x

)r=

C

r 8

•x

8-4r

3

令

8-4r

3

=0，得r=2，此時，常數項為T₃=C₈²=28

點評：（1）：主要考查二項式展開式的系數的求法，要區別各項二項式系數與各項二項展開式的系數的區別，本題由于x前面沒有系數，所以巧合，展開式的各項系數和正好等于所有項的二項式系數和，即C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=256．
方法2：特殊值代入法：可以令x=1，代入（

3	x

+

1

x

）ⁿ中，直接得2ⁿ=256，解得n=8．
（2）主要考查二項展開式中的特定項，需要用到二項展開式中的第r+1項，即通項公式Tr+1=c_n^r（

3	x

）^n-r（

1

x

）^r，要牢記這個公式，這種題型在高考中經常碰到．