Question

【題目】在數列與中，，，數列的前項和滿足，.

（1）求，，，的值，猜測的通項公式，并證明之.

（2）求數列與的通項公式；

（3）設，.證明：.

Answer 1

【答案】（1），，，；猜測：，證明見解析（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）帶值計算并作猜想，利用迭乘法或數學歸納法，可得結果.

（2）根據（1）的條件，利用與的關系，可得，根據與的關系，可得結果.

（3）根據（2）的結論，計算出，進一步得出，與2比較，可得結果.

（1）由題知：

，，，

猜測：

【法一】

∵∴

∴

,

即

【法二】

用數學歸納法證明如下：

當時，，等式成立.

假設時等式成立，

即，

當時，

∵∴

∴

（2）

由（1）知：，

∴

即

則

當時，也成立，

∴

∴

即

（3）

證明：當，時，

.

注意到

，

故

.

當，時，

即

當，時，

即

當，時，

即

∴，.

從而時，

有，

綜上，當時有，即.