Question

已知“接龍等差”數(shù)列a₁,a₂,…,a₁₀,a₁₁,…,a₂₀,a₂₁,…,a₃₀,a₃₁,…構成如下:a₁=1,a₁,a₂,…,a₁₀是公差為1的等差數(shù)列;a₁₀,a₁₁,…,a₂₀是公差為d的等差數(shù)列;a₂₀,a₂₁,…,a₃₀是公差為d²的等差數(shù)列;…;a_10n,a_10n+1,a_10n+2,…,a_10n+10是公差為dⁿ的等差數(shù)列(n∈N^*);其中d≠0.

(1)若a₂₀=80,求d;

(2)設b_n=a_10n,求b_n;

(3)當d＞-1時,證明對所有奇數(shù)n總有b_n＞5.

Answer 1

(1)解:由a₁,a₂,…,a₁₀是首項為1,公差為1的等差數(shù)列得a₁₀=10,a₁₀,a₁₁,…,a₂₀是公差為d的等差數(shù)列得a₂₀=a₁₀+10d=10+10d=80,解得d=7.

(2)解:由題意有a₂₀=a₁₀+10d,a₃₀=a₂₀+10d²,a₄₀=a₃₀+10d³,

a₁₀n=a₁₀(n-1)+10d^n-1.

累加得a₁₀n=a₁₀+10d+10d²+…+10d^n-1=10+10d+10d²+…+10d^n-1,

所以b_n=10+10d+10d²+…+10d^n-1=

(3)證明:設n為奇數(shù),當d∈(0,+∞)時b_n=10+10d+10d²+…+10d^n-1＞10,

當d∈(-1,0)時,b_n=,由1＜1-d＜2及1-dⁿ＞1,

有b_n=＞=5.

綜上所述,當n為奇數(shù)且d＞-1時,恒有b_n＞5.