Question

（2007•鹽城一模）已知“接龍等差”數列a₁，a₂，…，a₁₀，a₁₁，…，a₂₀，a₂₁，…，a₃₀，a₃₁，…構成如下：a₁=1，a₁，a₂，…，a₁₀是公差為1的等差數列；a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差為d的等差數列；a₂₀，a₂₁，…，a₃₀是公差為d²的等差數列；…；a_10n，a_10n+1，a_10n+2，…，a_10n+10是公差為dⁿ的等差數列（n∈N^*）；其中d≠0．
（1）若a₂₀=80，求d；
（2）設b_n=a_10n．求b_n；
（3）當d＞-1時，證明對所有奇數n總有b_n＞5．

Answer 1

分析：（1）由a₁，a₂，…，a₁₀是首項為1，公差為1的等差數列得a₁₀=10，由a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差為d的等差數列和a₂₀=80，能求出d．
（2）由題意有a₂₀=a₁₀+10d，a₃₀=a₂₀+10d²，a₄₀=a₃₀+10d³，…a_10n=a_10（n-1）+10d^n-1，由此能求出b_n．
（3）設n為奇數，當d∈（0，+∞）時b_n=10+10d+10d²+…+10d^n-1＞10，由此能求出當n為奇數且d＞-1時，恒有b_n＞5．

解答：解：（1）由a₁，a₂，…，a₁₀是首項為1，
公差為1的等差數列，得a₁₀=10，
由a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差為d的等差數列，
得a₂₀=a₁₀+10d=10+10d=80，
解得d=7．　　　　　…（4分）
（2）由題意有a₂₀=a₁₀+10d，
a₃₀=a₂₀+10d²，
a₄₀=a₃₀+10d³，
…
a_10n=a_10（n-1）+10d^n-1
累加得a_10n=a₁₀+10d+10d²+…+10d^n-1
=10+10d+10d²+…+10d^n-1…（8分）
所以b_n=10+10d+10d²+…+10d^n-1
=

10(1-dn) 1-d (d≠1) 10n  &(d=1)

．…（10分）
（3）設n為奇數，
當d∈（0，+∞）時，
b_n=10+10d+10d²+…+10d^n-1＞10…（13分）
當d∈（-1，0）時，
bn=

10(1-dn)

1-d

，
由1＜1-d＜2及1-dⁿ＞1，
有bn=

10(1-dn)

1-d

＞

10

2

=5
綜上所述，當n為奇數且d＞-1時，
恒有b_n＞5．　　　　　　　　…（16分）

點評：本題考查等差數列的公差的求法和通項公式的求法，考查運算能力和轉化化歸思想．解題時要認真申題，仔細解答，注意計算能力的培養．