Question

【題目】設直線與拋物線相交于不同兩點、， 為坐標原點.

（1）求拋物線的焦點到準線的距離；

（2）若直線又與圓相切于點，且為線段的中點，求直線的方程；

（3）若，點在線段上，滿足，求點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）2;（2）， ;（3）

【解析】試題分析：（1）根據題意，由拋物線的方程分析可得的值，即可得答案；（2）根據題意，設直線的方程為，分與兩種情況討論，分析的取值，綜合可得可取的值，將的值代入直線的方程即可得答案；（3）設直線，設、，將直線的方程與拋物線方程聯立，結合，由根與系數的關系分析可得答案．

試題解析：（1）∵拋物線的方程為

∴拋物線的焦點到準線的距離為2

（2）設直線

當時， 和符合題意;

當時， 、的坐標滿足方程組，

∴的兩根為、， ，

∴，

∴線段的中點

∵，

∴，得

∴，得

∵

∴（舍去）

綜上所述，直線的方程為： ，

（3）設直線，

、的坐標滿足方程組，

∴的兩根為、

， ，

∴，得或

時，直線AB過原點，所以；

時，直線AB過定點

設

∵，

∴（），

綜上，點的軌跡方程為