Question

（本小題滿分13分）
如圖，、是通過某城市開發區中心的兩條南北和東西走向的街道，連接、兩地之間的鐵路線是圓心在上的一段圓弧．若點在點正北方向，且，點到、的距離分別為和．
（Ⅰ）建立適當坐標系，求鐵路線所在圓弧的方程；
（Ⅱ）若該城市的某中學擬在點正東方向選址建分校,考慮環境問題，要求校址到點的距離大于，并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于，求該校址距點O的最近距離（注：校址視為一個點）．

Answer 1

(Ⅰ)（0≤x≤4，y≥3）  (Ⅱ)   校址選在距最近5km的地方

（Ⅰ）分別以、為軸，軸建立如圖坐標系．據題意得，
 
線段的垂直平分線方程為：），
故圓心A的坐標為（4，0），
 ， 
∴弧的方程：（0≤x≤4，y≥3）
（Ⅱ）設校址選在B（a，0）（a＞4），

整理得：，對0≤x≤4恒成立（﹡）
令
∵a＞4 ∴ ∴在[0，4]上為減函數
∴要使（﹡）恒成立，當且僅當
 ，
即校址選在距最近5km的地方．