Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求點A到平面PMB的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PB中點Q，連接MQ、NQ，

因為M、N分別是棱AD、PC中點，

所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．

DN∥平面PMB

（2）解： PD⊥MB

又因為底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點，

所以MB⊥AD．

又AD∩PD=D，

所以MB⊥平面PAD. 平面PMB⊥平面PAD

（3）解：因為M是AD中點，所以點A與D到平面PMB等距離．

過點D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．

故DH是點D到平面PMB的距離. ．

∴點A到平面PMB的距離為 ．

【解析】（1）取PB中點Q，連接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；（2）易證PD⊥MB，又因為底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點，然后利用平面與平面垂直的判定定理進行證明；（3）因為M是AD中點，所以點A與D到平面PMB等距離，過點D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是點D到平面PMB的距離，從而求解．