Question

【題目】已知正實數x，y滿足等式．

（Ⅰ）試將y表示為x的函數，并求出定義域和值域；

（Ⅱ）是否存在實數m，使得函數有零點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．定義域是．值域是．（Ⅱ）存在，

【解析】

(Ⅰ)先利用對數的換底公式，轉化為以y為底的兩個對數式相等，進而去掉對數符號，得到函數，結合對數的真數大于0和底數大于0且不等于1，可求函數的定義域，進而求出函數值域；

（Ⅱ）先利用換元法，再利用分離參數法，轉化為二次函數即可得解．

（Ⅰ）由題可得，

則，即．

由題意知解得，

所以的定義域是．

令，則，且，

則，

當且僅當，即時，等號成立，

則函數的值域是．

（Ⅱ）若存在滿足題意的實數m，則關于x的方程在上有實數解．

令，則由（Ⅰ）知，

問題轉化為關于u的方程在上有實數解，

則．

因為對稱軸為，

又，在上單調遞增，

故，

所以．

即存在滿足題意的實數m，其取值范圍是．