Question

已知正數數列中，，前項和為，對任意，、、成等差數列.
（1）求和；
（2）設，數列的前項和為，當時，證明：.

Answer 1

（1），；（2）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）因為、、成等差數列，所以，即，所以 ，當時，，那么，即，∴，，，…，，，.
把以上個式子相乘得：，所以，那么.（2）因為，變形得，那么可根據數列求和的列項相消法先求出，顯然，又再根據，可知，所以.
試題解析：（1）依題意：，   即 ，
∴. ∴.
當時，
②代入①并整理得:
∴，，，…，，

把以上個式子相乘得： ，   又∵
∴
∵當時，也滿足上式，所以
∵
∴
（2）
∴
∵ ， ∴，∴
又

∴.項和；證明數列不等式.