Question

【題目】如圖所示，直三棱柱中，是邊長為2等邊三角形，是的中點．

（1）求證：平面；

（2）若與平面所成角為，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接交于，證明出,從而證明平面.

（2）以為原點，建立如圖所示空間坐標系，求出平面的一個法向量，通過向量夾角公式，求出與法向量之間的夾角余弦值，從而得到與平面所成角的正弦值.

(1)連接交于，

四邊形為平行四邊形， 為中點，又為中點，

平面 平面

平面

(2) 因為是等邊三角形，是的中點，所以．

如圖，以為原點，建立如圖所示空間坐標系．

由與平面所成角為

則，

則，，

設平面的一個法向量為，

則，即，

取，則，

又，設與平面所成角為，則

，

故所求與平面所成角的正弦值為.