Question

【題目】已知是坐標原點，若橢圓：的離心率為，右頂點為，上頂點為，的面積為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，為橢圓上兩動點，若有，證明：直線恒過定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由離心率得,又，，又，即，則，,故橢圓的標準方程為；（2）先分析特殊情況，當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，聯立方程組，由直線與圓錐曲線的的位置關系得 ，因為

，代入整理得：，直線的方程為，故直線超過定點，②當直線與軸垂直時，若，此時兩點的坐標為，也有．

試題解析：（1）由離心率得,又，，

又，即，則，

故橢圓的標準方程為；

（2）①當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，聯立

消去y整理得，

設，則

故=

得

即

整理得

直線的方程為，

故直線超過定點；

②當直線與軸垂直時，若，此時兩點的坐標為，也有=-2

綜上，直線恒過定點.