Question

【題目】在數列{an}中，an＞0，a1= ，如果an+1是1與 的等比中項，那么a1+ + + +… 的值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵an+1是1與 的等比中項，
∴ = ，
又∵an＞0，a1= ，
∴ = ，即：15 ﹣4a2﹣4=0，
解得：a2= 或a2=﹣ （舍），
猜想：an= ．下面用數學歸納法來證明：
（1）當n=1時，命題顯然成立；
（2）假設當n=k時有ak= ，則 = ，
∴ = ，即 ﹣ ak﹣1=0，
∴（ ak+1﹣1）（ +1）=0，解得：ak+1= 或ak+1=﹣ （舍），
即當n=k+1時，命題也成立；
由（1）（2）可知an= ．
∴a1+ + + +… = + + +…+
=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）
=1﹣
= ，
所以答案是： ．
【考點精析】本題主要考查了數列的通項公式的相關知識點，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．