Question

【題目】如圖，從一個面積為的半圓形鐵皮上截取兩個高度均為的矩形，并將截得的兩塊矩形鐵皮分別以，為母線卷成兩個高均為的圓柱（無底面，連接部分材料損失忽略不計）．記這兩個圓柱的體積之和為．

（1）將表示成的函數關系式，并寫出的取值范圍；

（2）求兩個圓柱體積之和的最大值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）設半圓形鐵皮的半徑為r，自下而上兩個矩形卷成的圓柱的底面半徑分別為r1，r2，寫出y關于x的函數關系，并寫出x的取值范圍；

（2）利用導數判斷V（x）的單調性，得出V（x）的最大值．

（1）設半圓形鐵皮的半徑為，自下而上兩個矩形卷成的圓柱的底面半徑分別為，．

因為半圓形鐵皮的面積為，所以，即．

因為，所以，

同理，即．

所以卷成的兩個圓柱的體積之和．

因為，所以的取值范圍是．

（2）由，得，

令，因為，故

當時，；當時， ，

所以在上為增函數，在上為減函數，

所以當時，取得極大值，也是最大值．

因此的最大值為．

答：兩個圓柱體積之和的最大值為．