Question

【題目】設函數為自然對數的底數.

(1)若,且函數在區間內單調遞增，求實數的取值范圍；

(2)若，試判斷函數的零點個數.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)函數沒有零點.

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，問題轉化為在恒成立，記，根據函數的單調性求出的范圍即可；（2）求出，記，根據函數的單調性得到在區間遞增，從而求出的最小值大于0，判斷出函數無零點即可.

試題解析：(1)∵函數在區間內單調遞增，

∴在區間內恒成立.

即在區間內恒成立.

記，則恒成立，

∴在區間內單調遞減,

∴，∴，即實數的取值范圍為.

(2)∵， ，

記，則，

知在區間內單調遞增.

又∵， ，

∴在區間內存在唯一的零點，

即，

于是， .

當時， 單調遞減；

當時， 單調遞增.

∴

，

當且僅當時，取等號.

由，得，

∴，即函數沒有零點.