Question

如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R，高為h，在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱（其中R，h均為常數(shù)）．
（1）當(dāng)x=h時(shí)，求內(nèi)接圓柱上方的圓錐的體積V；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，這個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大？并求出其最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓錐的底面半徑與高，可得內(nèi)接圓柱的高為x時(shí)，它的高h(yuǎn)，由此結(jié)合圓柱體積公式即可列出用x表示圓柱的體積的式子；
（2）由（1）可得圓柱的側(cè)面積，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，可得當(dāng)圓柱的底面半徑為1時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，側(cè)面積有最大值為6π．
解答：解：圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，其中SO=h，OA=OB=R，OK=x．
設(shè)圓柱底面半徑為r，則（3分）
（1）當(dāng)時(shí)，
∴=
（2）設(shè)圓柱的側(cè)面積為S．
∵，
∴=
∴當(dāng)時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊圓錐，求它的內(nèi)接圓錐的側(cè)面積的最大值，著重考查了圓柱的體積、側(cè)面積公式和旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)接外切等知識(shí)點(diǎn)