Question

如圖，已知一個圓錐的底面半徑為R，高為h，在其中有一個高為x的內接圓柱（其中R，h均為常數）．
（1）當x=

2

3

h時，求內接圓柱上方的圓錐的體積V；
（2）當x為何值時，這個內接圓柱的側面積最大？并求出其最大值．

Answer 1

分析：（1）根據圓錐的底面半徑與高，可得內接圓柱的高為x時，它的高h，由此結合圓柱體積公式即可列出用x表示圓柱的體積的式子；
（2）由（1）可得圓柱的側面積S=2π•

h

R

(h-x)x，結合二次函數的單調性與最值，可得當圓柱的底面半徑為1時，圓柱的側面積最大，側面積有最大值為6π．

解答：解：圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，其中SO=h，OA=OB=R，OK=x．
設圓柱底面半徑為r，則

r

R

=

h-x

h

（3分）
（1）當x=

2

3

h時，r=

1

3

R，SK=

1

3

h
∴V=

1

3

•πr2•SK=

1

3

•

1

9

πR2•

1

3

h=

1

81

πhR2
（2）設圓柱的側面積為S．
∵r=

h

R

(h-x)，
∴S=2π•

h

R

(h-x)x=-

2πR

h

(x-

h

2

)2+

πRh

2

∴當x=

h

2

時，Smax=

πRh

2

．

點評：本題給出特殊圓錐，求它的內接圓錐的側面積的最大值，著重考查了圓柱的體積、側面積公式和旋轉體的內接外切等知識點