Question

（10分）設a，b均為正數，且a≠b，求證：a³＋b³＞a²b＋ab².

Answer 1

略

證明：法一：(分析法)　要證a³＋b³＞a²b＋ab²成立，
只需證(a＋b)(a²－ab＋b²)＞ab(a＋b)成立．
又因為a＋b＞0，只需證a²－ab＋b²＞ab成立．
又需證a²－2ab＋b²＞0成立，即需證(a－b)²＞0成立．
而依題設a≠b，則(a－b)²＞0顯然成立，由此命題得證．
法二：(綜合法)　a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)²＞0⇒a²－2ab＋b²＞0　
⇒a²－ab＋b²＞ab.(*)
而a，b均為正數，∴a＋b＞0，
由(*)式即得(a＋b)(a²－ab＋b²)＞ab(a＋b)，
∴a³＋b³＞a²b＋ab².