Question

【題目】已知數列的前項和為，對一切正整數，點都在函數的圖象上，記與的等差中項為。

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若，求數列的前項和；

（Ⅲ）設集合，等差數列的任意一項，其中是中的最小數，且，求的通項公式。

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）。

【解析】

試題分析：（I）根據點都在函數的圖象上，可得，再寫一式，兩式相減，即可求得數列的通項公式；（II）先確定數列的通項，再利用錯位相減法求數列的和；（III）先確定，再確定是公差為的倍數的等差數列，利用，可得，由此可得的通項公式。

試題解析：（I）點都在函數的圖像上，,當時， 當ｎ＝1時，滿足上式，所以數列的通項公式為。

（II）∵為與的等差中項

∴

①

由①×4，得

①-②得：

，

。

（III）∵

∴

∵，是中的最小數，。

是公差為的倍數的等差數列，。

又，

,解得.所以，

設等差數列的公差為，則，

，∴。