Question

已知，
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）設c_n=b_nb_n+1，S_n為數列{c_n}的前n項和，求證：S_n≥17n；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據a₂和a₁及題設中遞推式求得a₃，進而求得a₄，代入求得b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）整理a_n+2=4a_n+1+a_n得，進而求得關于b_n的遞推式，進而推斷出b_n＞4，且c_n=b_nb_n+1=4b_n+1＞17進而推斷出S_n=c₁+c₂++c_n≥17n．
（Ⅲ）先看當n=1時把b₁和b₂代入結論成立；在看當n≥2時，把（2）中求得的遞推式代入|b_2n-b_n|，進而根據（2）中S_n≥17n的結論推斷出|b_2n-b_n|＜，進而根據|b_2n-b_n|≤|b_n+1-b_n|+|b_n+2-b_n+1|+…+|b_2n-b_2n-1|使原式得證．
解答：解：（Ⅰ）∵a₂=4，a₃=17，a₄=72，
所以
（Ⅱ）由a_n+2=4a_n+1+a_n
得即
所以當n≥2時，b_n＞4
于是c₁=b₁，b₂=17，c_n=b_nb_n+1=4b_n+1＞17（n≥2）
所以S_n=c₁+c₂++c_n≥17n
（Ⅲ）當n=1時，結論成立
當n≥2時，有
所以|b_2n-b_n|≤|b_n+1-b_n|+|b_n+2-b_n+1|+…+|b_2n-b_2n-1|
點評：本題主要考查了數列的遞推式．數列的遞推式與不等式，函數等知識綜合考查是近幾年高考的熱點，平時的訓練應注意知識的綜合運用．