Question

已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數）都在函數y=(

1

2

)x的圖象上，且數列{a_n} 是a₁=1，公差為d的等差數列．
（1）證明：數列{b_n} 是等比數列；
（2）若公差d=1，以點P_n的橫、縱坐標為邊長的矩形面積為c_n，求最大的實數t，使cn≤

1

t

（t∈R，t≠0）對一切正整數n恒成立；
（3）對（2）中的數列{a_n}，對每個正整數k，在a_k與a_k+1之間插入3^k-1個3（如在a₁與a₂之間插入3⁰個3，a₂與a₃之間插入3¹個3，a₃與a₄之間插入3²個3，…，依此類推），得到一個新的數列{d_n}，設S_n是數列{d_n}的前n項和，試探究2008是否為數列{S_n}中的某一項，寫出你探究得到的結論并給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據題中已知條件以及等差數列的基本性質，先求出b_n的通項公式，然后證明為常數即可證明；
（2）先求出b_n的通項公式，然后求出c_n的表達式，可知數列c_n從第二項起隨n增大而減小，故c_n≤c₂，即t=c₂，便可求出t的最小值；
（3）根據題意先求出d_n的表達式，然后求出S_n的表達式，因為2008-1120=888=296×3，是3的倍數，所以存在自然數m，使S_m=2008．

解答：解：（1）由已知bn=(

1

2

)an，（1分）
所以，

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d（常數），（3分）
所以，數列{b_n}是等比數列．（4分）
（2）公差d=1，則a_n=n，得bn=(

1

2

)n，
∴cn=n(

1

2

)n，（8分）
cn-cn+1=n(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1=(

1

2

)n

n-1

2

≥0，
∴c₁=c₂＞c₃＞c₄＞c_n＞數列{c_n}從第二項起隨n增大而減�。�9分）
∴又c1=c2=

1

2

，則

1

2

≤

1

t

．得0＜t≤2最大的實數t的值等于2（11分）
（3）∵a_n=n，∴數列{d_n}中，從第一項a₁開始到a_k為止（含a_k項）的所有項的和是(1+2++k)+(31+32++3k-1)=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

，（13分）
當k=7時，其和是28+

37-3

2

=1120＜2008，（14分）
而當k=8時，其和是36+

38-3

2

=3315＞2008．（15分）
又因為2008-1120=888=296×3，是3的倍數，
所以存在自然數m，使S_m=2008．
此時m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．（18分）

點評：本題考查了等差數列和等比數列的基本性質以及函數的綜合應用，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．