Question

已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）．…Pn(an，bn)(n∈N*)都在函數y=1og

1

2

x的圖象上．
（1）若數列{b_n}是等差數列，求證數列{a_n}是等比數列；
（2）若數列{a_n}的前n項和是Sn=1-2-n，過點P_n，P_n+1的值線與兩坐標軸所圍三角形面積為c_n，求最小的實數t使c_n≤t對n∈N^*恒成立；
（3）若數列{b_n}為由（2）中{a_n}得到的數列，在b_k與b_k+1之間插入3^k-1（k∈N^*）個3，得一新數列{d_n}，問是否存在這樣的正整數m，使數列{d_n}的前m項的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用數列{b_n}是等差數列，結合等比數列的定義，即可證明數列{a_n}是等比數列；
（2）先確定數列{a_n}的通項公式，再求數列{b_n}的通項公式，進而可得直線方程，由此可求數列{c_n}的通項，利用各項依次單調遞減，可求最小的實數t；
（3）求出數列{d_n}中，b_k（含b_k項）前的所有項的和，由此可求m的值．

解答：（1）證明：數列{b_n}是等差數列，設公差為d，則b_n+1-b_n=d對n∈N^*恒成立，…（1分）
依題意bn=log

1

2

an，an=(

1

2

)bn，…（2分）
所以

an+1

an

=(

1

2

)bn+1-bn=(

1

2

)d是定值，…（3分）
從而數列{a_n}是等比數列．                                 …（4分）
（2）解：當n=1時，a1=

1

2

，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(

1

2

)n，n=1也適合此式，
即數列{a_n}的通項公式是an=(

1

2

)n．                        …（5分）
由bn=log

1

2

an，可得數列{b_n}的通項公式是b_n=n，…（6分）
所以Pn(

1

2n

，n)，Pn+1(

1

2n+1

，n+1)．
過這兩點的直線方程是：

y-n

(n+1)-n

=

x- 1 2n

1 2n+1 - 1 2n

，可得與坐標軸的交點是An(

n+2

2n+1

，0)和B_n（0，n+2）．…（7分）
∴cn=

1

2

×OAn×OBn=

(n+2)2

2n+2

，…（8分）
由于cn-cn+1=

(n+2)2

2n+2

-

(n+3)2

2n+3

=

2(n+2)2-(n+3)2

2n+3

=

n2+2n-1

2n+3

＞0…（9分）
即數列{c_n}的各項依次單調遞減，所以t≥c1=

9

8

．                 …（10分）
（3）解：數列{d_n}中，b_k（含b_k項）前的所有項的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

…（11分）
當k=7時，其和是28+

37-3

2

=1120＜2008，…（12分）
當k=8時，其和是36+

38-3

2

=3315＞2008，
又因為2008-1120=888=296×3，是3的倍數，故存在這樣的m，使得S_m=2008，…（13分）
此時m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．                 …（14分）

點評：本小題主要考查等差、等比數列的定義、通項、求和、對數的運算、直線方程與不等式等知識，考查化歸、轉化、方程的數學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力、創新能力和綜合應用能力．