Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ） 當a＝0時，求曲線f（x）在x ＝1處的切線方程；

（Ⅱ） 設函數，求函數h（x）的極值；

（Ⅲ） 若在[1，e]（e＝2．718 28…）上存在一點x0，使得成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）切線方程為 ；

（Ⅱ）當 時， 在 處取得極大值 ，無極小值；當 時， 在區間 上無極值；

（Ⅲ）或

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，計算，根據點斜式即可求出切線方程；（Ⅱ）求出的導數，通過討論的范圍，利用導數求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（Ⅲ）問題轉化為函數在上，有，通過討論的范圍，得到函數的單調性，從而求出的范圍即可.

試題解析：（Ⅰ） 當a＝0時，f （x） ＝, f （1） ＝1, 則切點為（1, 1），分

∵, ∴切線的斜率為,

∴曲線f （x）在點（1, 1）處的切線方程為y1＝ （ x1），即x+ y2＝0

（Ⅱ）依題意，定義域為（0, +∞），

∴,

①當a+1＞0，即a＞1時，令，∵x＞0，∴0＜x＜1+ a,

此時，h（x） 在區間（0, a+1）上單調遞增，

令，得 x＞1+ a．

此時，h（x）在區間（a+1,+∞）上單調遞減．

②當a+1≤0，即a≤1時， 恒成立， h（x）在區間（0,+∞）上單調遞減．

綜上，當a＞1時，h（x）在x＝1+a處取得極大值h（1+a）＝，無極小值；

當a≤1時，h（x）在區間（0,+∞）上無極值．

（Ⅲ） 依題意知，在[1, e]上存在一點x0，使得成立,

即在[1, e]上存在一點x0，使得h（x0）≥0，

故函數在[1, e]上，有h（x）max≥0．

由（Ⅱ）可知，①當a+1≥e, 即a≥e1時，h（x）在[1, e]上單調遞增，

∴, ∴,

∵，∴．

②當0＜a+1≤1，或a≤1，即a≤0時，h（x）在[1, e]上單調遞減，

∴，∴a ≤2．

③當1＜a+1＜e，即0＜a＜e1時，

由（Ⅱ）可知，h（x）在x＝1+a處取得極大值也是區間（0, +∞）上的最大值，

即h（x）max＝h（1+a）＝，

∵0＜ln（a+1）＜1, ∴h（1+a）＜0在[1, e]上恒成立，

此時不存在x0使h（x0）≥0成立．

綜上可得，所求a的取值范圍是或a≤2．

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線以及利用導數研究函數的單調性及極值值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.