Question

【題目】如圖，在四棱錐中， ， 平面， .

(1)設點為的中點，求證： 平面；

(2)線段上是否存在一點，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）為中點

【解析】試題分析：（1）先取的中點，利用三角形中位線性質得，再根據線面平行判定定理得平面.根據計算，利用平幾知識得，再根據線面平行判定定理得平面.從而利用面面平行判定定理得平面平面.最后根據面面平行性質得平面. （2）一般利用空間直角坐標系研究線面角，先根據條件建立恰當直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求出平面法向量，根據向量數量積求出向量夾角，最后利用線面角與向量夾角關系列方程，解出點坐標，確定其位置.

試題解析：(1)證明　取的中點，連接，則.

因為平面， 平面，所以平面.

在中， ，所以.

而，所以.

因為平面， 平面，

所以平面.

又因為，

所以平面平面.

因為平面，

所以平面.

（注：（1）問也可建系來證明）

(2)過作，交于，又平面知以為原點， 分別為軸建系如圖：

則

設平面PAC的法向量，

由有取

設，則，

∴

∴

∴,∴．

∴線段上存在一點， 為中點