Question

【題目】已知函數 ，若滿足f（1）=
（1）求實數a的值；
（2）證明：f（x）為奇函數．
（3）判斷并證明函數f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（1）= ；

∴ ；

∴a=1

（2）解：證明： ；

該函數定義域為R，f（﹣x）= ；

∴f（x）為奇函數

（3）解： ，可看出x增大時，f（x）增大，∴f（x）在R上為增函數，證明如下：

設x1，x2∈R，且x1＜x2，則：

= ；

∵x1＜x2；

∴ ， ；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在R上為增函數

【解析】（1）根據f（1）= 便可求出a=1；（2）寫出 ，定義域顯然為R，容易得到f（﹣x）=﹣f（x），從而得出該函數為奇函數；（3）分離常數得到 ，根據單調性定義便可判斷該函數在R上單調遞增，根據增函數的定義證明：設任意的x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ， 然后作差，通分，根據指數函數的單調性證明f（x1）＜f（x2）即可得出f（x）在R上單調遞增．
【考點精析】利用函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．