Question

定義在R上的增函數y=f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
(Ⅰ)求f（0）
（Ⅱ）求證f（x）為奇函數；
（Ⅲ）若f（）+f（3－9－2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ)令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．…2分
（Ⅱ）令y=-x，代入①式，得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，則有
0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）對任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函數．           ………………………………6分
(Ⅲ) 因為f（x）在R上是增函數，又由（Ⅱ）知f（x）是奇函數．
f（）＜-f（3-9-2）=f（-3+9+2），  ＜-3+9+2，
3-（1+k）+2＞0對任意x∈R成立． …… …………………8分
令t=3＞0，問題等價于t-（1+k）t+2＞0對任意t＞0恒成立．
，其對稱軸為
………………10分
        解得：
綜上所述，當時，f（）+f（3-9-2）＜0對任意x∈R恒成立.

略