Question

【題目】定義：在數列{an}中，若an2﹣an﹣12=p，（n≥2，n∈N* ， p為常數），則稱{an}為“等方差數列”，下列是對“等方差數列”的有關判斷：
①若{an}是“等方差數列”，則數列{ }是等差數列；
②{（﹣2）n}是“等方差數列”；
③若{an}是“等方差數列”，則數列{akn}（k∈N* ， k為常數）也是“等方差數列”；
④若{an}既是“等方差數列”，又是等差數列，則該數列是常數數列．
其中正確命題的個數為（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】B
【解析】解：根據題意，依次分析四個判斷：①、若{an}是“等方差數列”，假設an= ，則 = ，不是等差數列，則①錯誤；②：對數列{（﹣2）n}有an2﹣an﹣12=[（﹣2）n]2﹣[（﹣2）n﹣1]2=4n﹣4n﹣1不是常數，所以②錯誤③：對數列{akn}有akn2﹣ak（n﹣1）2=（akn2﹣akn﹣12）+（akn﹣12﹣akn﹣22）+…+（akn﹣k+12﹣akn﹣k2）=kp，而k，p均為常數，所以數列{akn}也是“等方差數列”，所以③正確④：設數列{an}首項a1，公差為d則有a2=a1+d，a3=a1+2d，所以有（a1+d）2﹣a12=p，且（a1+2d）2﹣（a1+d）2=p，所以得d2+2a1d=p，3d2+2a1d=p，上兩式相減得d=0，所以此數列為常數數列，所以④正確．

有2個正確；

所以答案是：B．

【考點精析】通過靈活運用數列的通項公式，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．