Question

【題目】我國南北朝時期的數學家祖暅提出體積的計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異”，“勢”即是高，“冪”是面積．意思是：如果兩等高的幾何體在同高處所截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知焦點在x軸上的雙曲線C的離心率e＝，焦點到其漸近線的距離為2．直線y＝0與y＝2在第一象限內與雙曲線C及其漸近線圍成如圖所示的圖形OABN，則它繞y軸旋轉一圈所得幾何體的體積為___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意得雙曲線方程為=1，y=2在第一象限內與漸近線的交點N的坐標和與雙曲線

第一象限交點B的坐標，記y=2與y軸交于點M，由π|MB|2﹣π|MN|2=π，根據祖晅原理，

能求出它繞y軸旋轉一圈所得幾何體的體積．

由題得，所以a=1,b=2.

∴雙曲線方程為=1，

y=2在第一象限內與漸近線y=2x的交點N的坐標為（，2），

y=2與雙曲線=1在第一象限交點B的坐標為（，2），

記y=2與y軸交于點M（0，2），A（1，0），

∵π|MB|2﹣π|MN|2==π，

根據祖晅原理，它繞y軸旋轉一圈所得幾何體的體積為=2π．

故答案為：2π．