Question

如圖，在長方體中,，點是棱上的一個動點.

(1)證明:；

(2)當為的中點時，求點到面的距離；

(3)線段的長為何值時，二面角的大小為.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：解決立體幾何中的垂直、距離及空間角，有幾何法與空間向量法，其中幾何法，需要學生具備較強的空間想象能力及扎實的立體幾何理論知識；向量法，則要求學生能根據題意準確建立空間直角坐標系，寫出有效點、有效向量的坐標必須準確無誤，然后將立體幾何中的問題的求解轉化為坐標的運算問題，這也需要學生具備較好的代數運算能力.

幾何法：（1）要證，只須證明平面，然后根據線面垂直的判定定理進行尋找條件即可；（2）運用的關系進行計算即可求出點到面的距離；（3）先作于，連接，然后充分利用長方體的性質證明為二面角的平面角，最后根據所給的棱長與角度進行計算即可得到線段的長.

向量法： (1)建立空間坐標，分別求出的坐標，利用數量積等于零即可；(2)當為的中點時，求點到平面的距離，只需找平面的一條過點的斜線段在平面的法向量上的投影即可；(3)設，因為平面的一個法向量為，只需求出平面的法向量，然后利用二面角為，根據夾角公式，求出即可.

試題解析：解法一：(1)∵平面，∴，又∵，∩，∴平面， 4分

(2)等體積法：由已知條件可得，，，所以為等腰三角形

=， ，設點到平面的距離，根據可得，，即，解得 8分

(3)過點作于，連接

因為平面，所以，又，∩，所以平面

故，為二面角的平面角

所以，，，，

由可得， 14分

解法二: 以為坐標原點,直線分別為軸,建立空間直角坐標系

設,則,
(1),,故；
(2)因為為的中點,則,從而, ,設平面的法向量為,則 也即,得,從而,所以點到平面的距離為 ；
(3)設平面的法向量, 而, 由,即,得,依題意得: , ,解得 (不合,舍去),

∴時,二面角的大小為.

考點：1.空間中的垂直問題；2.空間距離；3.空間角；4. 空間向量在立體幾何中應用.