【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）設
，當
時，對任意
，存在
，使
，求實數
的取值范圍.
【答案】(1)見解析.
(2)
.
【解析】分析：（1）先求一階導函數
的根，求解
或
的解集，寫出單調區間。
（2）當
時，求出
的最小值，存在
，使
的最小值，
再分離變量構建函數
，解
。
詳解：（1）的定義域為
，
又
，
令
，得
或
.
當
，則
，由
得
，由
得
，
函數在
上單調遞減，在
上單調遞增.
當
，則
，由得
，
由得
或，
函數在
上單調遞減，在
和上單調遞增.
當
，則
，可得
，
此時函數在上單調遞增.
當
時，則
，由得
，
由得或
，
函數在
上單調遞減，在和
上單調遞增.
（2）當時，由（1）得函數在
上單調遞減，
在和
上單調遞增，
從而在
上的最小值為
.
對任意
，存在，使
，
即存在，
函數值不超過在區間上的最小值
.
由
得
，
.
記
，則當
時，.
，當
，顯然有
，
當
，
，
故在區間上單調遞減，得
，
從而
的取值范圍為
.
備戰中考寒假系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知兩動圓
和
（
），把它們的公共點的軌跡記為曲線
，若曲線與
軸的正半軸的交點為
，且曲線上的相異兩點
滿足：
.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）證明直線
恒經過一定點，并求此定點的坐標；
（3）求
面積
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.現有拋物線
，如圖一平行于
軸的光線射向拋物線，經兩次反射后沿平行軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為4，則該拋物線的方程為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程和的直角坐標方程；
（2）已知曲線
的極坐標方程為
，點
是曲線與的交點，點
是曲線與的交點，、均異于原點，且
，求實數
的值.
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