Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求的最大值；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值可解決此問題；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可解決此問題．

（1）當k=-1時，，=-exx-x=-x（ex+1）

當x＜0時，＞0，當x＞0時，＜0，所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）在x=0時取到最大值，最大值為f（0）=1．

（2）=kexx-x=x（kex-1），

當k＜0時，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又因為f（0）=-k＞0，，，所以f（x）有兩個零點；

當k=0時，，所以此時f（x）只有一個零點；

當k=1時，=exx-x=x（ex-1）≥0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）不存在兩個零點；

當0＜k＜1時，，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，-lnk）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（0）=-k＜0，f（x）不存在兩個零點；

當k＞1時，，f（x）在（-∞，-lnk）上單調(diào)遞增，在（-lnk，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且，f（x）不存在兩個零點．

綜上，當f（x）有兩個零點時，k的取值范圍是（-∞，0）．