Question

【題目】若為定義域上的單調函數,且存在區間（其中,使得當時, 的取值范圍恰為,則稱函數是上的“優美函數”.

函數是否為“優美函數”？若是,求出的值；若不是，請說明理由.

若為“優美函數”，求實數的取值范圍.

若函數為“優美函數”，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是“優美函數”,過程見解析

（2）

（3）

【解析】

（1）由已知條件中“優美函數”的定義，說明函數在區間的值域是，又由函數的單調性，得到關于的方程，解出即可；
（2）由題意知，函數為“優美函數”，等價于方程有兩實根，利用判別式和韋達定理列不等式，解不等式可得的范圍；

（3）函數為“優美函數”，可得，消去，可得間的關系，再代入原方程組，可得兩個結構一摸一樣的方程，將方程組的問題化歸為一個二次方程有兩正根的問題，利用判別式和韋達定理列不等式，解不等式可得的范圍．

解：因為函數在區間上單調遞增，且值域為,

，

，

，

所以是“優美函數”,此時,；

因為函數為遞增函數,

要使在定義域區間上存在,使得的值域,

則只需有兩個不等的實根,

由得在有兩個不等的實根,設為，

，

解得；

因為函數在上單調遞減，

由題意得，兩式相減，

得，

可得

將上式代入方程組得，

是方程的兩根，

令在上有兩個不同的實根，設為，

解得．