Question

【題目】已知函數的圖象經過點（1，3），并且g（x）=xf（x）是偶函數．
（1）求實數a、b的值；
（2）用定義證明：函數g（x）在區間（1，+∞）上是增函數．

Answer 1

【答案】解：（1）∵函數g(x)=x是偶函數，則g（﹣x）=g（x）．
∴恒成立，即x﹣b=x+b恒成立，
∴b=0．
又函數f（x）的圖象經過點（1，3），
∴f（1）=3，即1+a=3，
∴a=2．
（2）由（1）知：g（x）=xf（x）=2x2+1．
設x2＞x1＞1，
則-1=2（x2﹣x1）（x2+x1）．
∵x2＞x1＞1，∴（x2﹣x1）（x2+x1）＞0
∴g（x2）＞g（x1），
∴函數g（x）在區間（1，+∞）上是增函數．
【解析】（1）根據g（﹣x）=g（x）恒成立得出b的值，將（1，3）代入f（x）解出a；
（2）設x2＞x1＞1，化簡g（x2）﹣g（x1）并判斷符號得出g（x2）與g（x1）的大小關系．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．