Question

已知（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開式前三項中的x的系數成等差數列．
（1）展開式中所有的x的有理項為第幾項？
（2）求展開式中系數最大的項．

Answer 1

（1）因為展開式前三項中的x的系數成等差數列，
所以2•

n

2

=1+

n(n-1)

8

，
所以n=8或n=1（舍去），
n=8時，展開式的通項公式為T_r+1=

C

r8

•2-r•x4-

3

4

r，
由題意，4-

3

4

r必為整數，從而可知r必為4的倍數，
∴r=0，4，8，
∴展開式中所有的x的有理項為第1，5，9項；
（2）設第r+1項為系數最大的項，則由

tr+1

tr

≥1且

tr+2

tr+1

≤1，可得

9-r 2r ≥1 2(r+1) 8-r ≤1

，
∴2≤r≤3，
∴r=2或r=3，
∴系數最大的項為7x

5

2

和7x

7

4

．