Question

如圖，正方體的棱長為，分別為棱上的點，給出下列命題：
①在平面內總存在與直線平行的直線；
②若平面，則與的長度之和為；
③存在點使二面角的大小為；
④記與平面所成的角為，與平面所成的角為，則的大小與點的位置無關.
其中真命題的序號是      ▲     ． （寫出所有真命題的序號）

Answer 1

②④．

當與重合，與重合時，可得即垂直于面即，命題①不正確；
在上取一點使得，連接，可得四邊形為平行四邊形，所以。因為面，所以面，則，從而可得，所以。從而有，所以，命題②正確；
連接，設交點為，連接。由對稱可得，所以是二面角的平面角。設，則。由余弦定理可得，。記，則，則在區間上單調遞增，所以，所以不存在點使得二面角的大小為，命題③不正確；
因為，所以與平面所成角等于與平面所成角。過點分別作。因為面，所以，從而有面，面，則分別是與平面所成角，從而有，所以恒為定值，，命題④正確。