Question

如圖3，已知二面角的大小為，菱形在面內，兩點在棱上，，是的中點，面，垂足為.
(1)證明：平面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

(1)詳見解析  (2)

試題分析:(1)題目已知,利用線面垂直的性質可得,已知角和,利用余弦定理即可說明,即垂直于面內兩條相交的直線,根據線面垂直的判斷即可得到直線垂直于面.
(2)菱形為菱形可得,則與所成角與角大小相等,即求角的余弦值即可,利用菱形所有邊相等和一個角為即可求的的長度,根據(1)可得面,即角為二面角的平面角為,結合為直角三角形與的長度,即可求的長度,再直角中,已知,利用直角三角形中余弦的定義即可求的角的余弦值,進而得到異面直線夾角的余弦值.
(1)如圖,因為,,所以,連接,由題可知是正三角形,又是的中點,所以,而,故平面.

(2)因為,所以與所成的角等于與所成的角,即是與所成的角,由(1)可知,平面,所以,又,于是是二面角的平面角,從而,不妨設,則,易知,在中,,連接,在中,,所以異面直線與所成角的余弦值為.