Question

【題目】已知橢圓G：，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交橢圓G于A、B兩點(diǎn)．

（1）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；

（2）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，；

（2），，2．

【解析】

試題分析：（1）先由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出值，再利用求出值，進(jìn)而寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（2）先討論兩種特殊情況（點(diǎn)在圓上，即斜率不存在的情況），再設(shè)出切線的點(diǎn)斜式方程，利用直線與圓相切得到與的關(guān)系，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式得到關(guān)于的關(guān)系式，再利用基本不等式進(jìn)行求解．

試題解析：（1）由已知得：，所以．

所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．

離心率為．

（2）由題意知：．

當(dāng)時(shí)，切線的方程為，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，

此時(shí)．

當(dāng)時(shí)，同理可得．

當(dāng)時(shí)，設(shè)切線的方程為．由，得

．

設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則

，．

又由與圓相切，得，即．

所以，

由于當(dāng)時(shí)，，

所以，．

因?yàn)?/span>，且當(dāng)時(shí)，，

所以的最大值為2．