已知雙曲線
（其中
）.
（1）若定點
到雙曲線上的點的最近距離為
，求
的值；
（2）若過雙曲線的左焦點
，作傾斜角為
的直線
交雙曲線于
、
兩點，其中
，
是雙曲線的右焦點.求△
的面積
.
(1)
或
；(2)
．
解析試題分析：(1)本題涉及兩點間距離，因此我們設雙曲線上任一點為
，這樣可表示出距離的平方
，注意到雙曲線上的點滿足
，故要對
進行分類討論以求最小值；(2)設
，
，由于
，因此
，而
可以用直線
方程與雙曲線方程聯立方程組，消去
可得
的一元二次方程，從這個方程可得，從而得三角形面積．
試題解析：（1）設點在雙曲線上，由題意得：
。
由雙曲線的性質，得
。 1分
（i）若
，則當
時，
有最小值。最小值
，所以
。 3分
（ii）若
，則當
時，有最小值，此時
，解得
。 6分
（2）
，
，直線與
軸垂直時，
，此時，△的面積
=
. 7分
直線與軸不垂直時，直線方程為
， 8分
設
，
解法1：將
代入雙曲線方程，整理得：
，即
10分
所以，
11分
=. 14分
解法2：將代入雙曲線方程，整理得：
， 10分
，
， 11分
點到直線
距離
，
△的面積
=. 14分
考點：(1)定點到雙曲線上點的最短距離；(2)直線與雙曲線相交弦長及三角形面積．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動點P與平面上兩定點
連線的斜率的積為定值
.
（1）試求動點P的軌跡方程C.
（2）設直線
與曲線C交于M、N兩點，當|MN|=
時，求直線l的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
的離心率為
，左、右焦點分別為
，點G在橢圓C上，且
，
的面積為3.
（1）求橢圓C的方程：
（2）設橢圓的左、右頂點為A，B，過
的直線
與橢圓交于不同的兩點M，N（不同于點A，B），探索直線AM，BN的交點能否在一條垂直于
軸的定直線上，若能，求出這條定直線的方程；若不能，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的焦點為雙曲線
的一個焦點，且兩條曲線都經過點
.
（1）求這兩條曲線的標準方程；
（2）已知點
在拋物線上，且它與雙曲線的左，右焦點構成的三角形的面積為4，求點 的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知直線
過點
且與拋物線
交于A、B兩點，以弦AB為直徑的圓恒過坐標原點O.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)設
是直線
上任意一點，求證：直線QA、QM、QB的斜率依次成等差數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＝1(a>b>0)的兩個焦點F1，F2和上下兩個頂點B1，B2是一個邊長為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個頂點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過右焦點F2的斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于E、F兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x＝3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k′，求證： k·k′為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，矩形ABCD中，|AB|＝2
，|BC|＝2．E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，分別以HF，EG所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，已知
＝λ
，
＝λ
，其中0＜λ＜1．
（1）求證：直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：
＋y2＝1上；
（2）若點N是直線l：y＝x＋2上且不在坐標軸上的任意一點，F1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點，直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點分別為P、Q和S、T．是否存在點N，使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，拋物線E：y2＝4x的焦點為F，準線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設圓C與準線l交于不同的兩點M，N.
(1)若點C的縱坐標為2，求|MN|；
(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圓C的半徑．
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軸的拋物線經過點
．
過定點
，斜率為
，當