Question

【題目】已知．

（1）當為常數，且在區間變化時，求的最小值；

（2）證明：對任意的，總存在，使得 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析。

【解析】試題分析：（1）設，則，當時，，所以函數在區間上單調遞增，則其最小值為，即；（2）令，，由于，所以，于是得到函數在區間上遞減，在區間上遞增，分情況討論，當時，函數在區間上遞減，經驗證，存在，使得，當時，函數在內單調遞減，在內單調遞增，所以時，函數取最小值，經驗證，存在，使得.

試題解析：（1）當為常數時，

，，

，當，，在上遞增，其最小值．

（2）令，，

由，當在區間內變化時，與變化情況如下表：

		0
	單調遞減	極小值	單調遞增

①當，即時，在區間內單調遞減，

，，

所以對任意，在區間內均存在零點，即存在，使得；

②當，即時，在內單調遞減，在內單調遞增，

所以時，函數取最小值，

又，

若，則，，

所以在內存在零點；

若，則，，

所以在內存在零點，

所以，對任意，在區間內均存在零點，即存在，使得．

結合①②，對任意的，總存在，使得．