Question

【題目】已知橢圓的離心率，直線與相交于，兩點，當時，

（1）求橢圓的標準方程.

（2）在橢圓上是否存在點，使得當時，的平分線總是平行于軸？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，或.

【解析】

（1）根據離心率得出，，將直線與橢圓方程聯立，得出交點坐標，再由兩點間距離公式，即可得出橢圓方程；

（2）假設存在點，設，，由整理得出，由題意得出，結合韋達定理求解即可.

（1）設橢圓的半焦距為

因為離心率，所以，

由解得.

不妨設，，則.

所以，從而，.

所以橢圓的標準方程為.

（2）假設存在點，設，.

由，消去得.

因為，所以，

且，.

由的平分線平行于軸，得

所以，即，

可得，

所以，

整理得.

當變化時，上式恒成立，

所以，解得或.

故滿足條件的點的坐標為或.