Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，點M為PC的中點．

（1）求證：PA∥平面BMD；

（2）求證：AD⊥PB；

（3）若AB=PD=2，求點A到平面BMD的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）設AC和BD交于點O，MO為三角形PAC的中位線可得MO∥PA，再利用直線和平面平行的判定定理，證得結論．

（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，再由cos∠BAD，證得 AD⊥BD，可證AD⊥平面PBD，從而證得結論．

（3）點A到平面BMD的距離等于點C到平面BMD的距離h，求出MN、MO的值，利用等體積法求得點C到平面MBD的距離h．

（1）證明：設AC和BD交于點O，則由底面ABCD是平行四邊形可得O為AC的中點．

由于點M為PC的中點，故MO為三角形PAC的中位線，故MO∥PA．再由PA不在平面BMD內，而MO在平面BMD內，

故有PA∥平面BMD．

（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，平行四邊形ABCD中，∵∠BCD＝60°，AB＝2AD，

∴cos∠BADcos60°，∴AD⊥BD．

這樣，AD垂直于平面PBD內的兩條相交直線，故AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB．

（3）若AB＝PD＝2，則AD＝1，BD＝ABsin∠BAD＝2，

由于平面BMD經過AC的中點，故點A到平面BMD的距離等于點C到平面BMD的距離．

取CD得中點N，則MN⊥平面ABCD，且MNPD＝1．

設點C到平面MBD的距離為h，則h為所求．

由AD⊥PB 可得BC⊥PB，故三角形PBC為直角三角形．

由于點M為PC的中點，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得MD＝MB，故三角形MBD為等腰三角形，

故MO⊥BD．

由于PA，∴MO．

由VM﹣BCD＝VC﹣MBD 可得，（）MN（BD×MO ）×h，

故有 （）×1（）h，

解得h．